MÉTODOS DE DEMOSTRACIÓN

MÉTODO DIRECTO
Si la demostración es válida, se dice que son ciertos y que:
· P es condición suficiente para que se verifique C
· C es condición necesaria para que se verifique P

A1: Si a y b son números reales, entonces a+b es un número real (cerradura en la suma).

A2: Si a y b son números reales, entonces a+b=b+a (conmutatividad de la suma).

A3: Si a, b y c son números reales, entonces a+(b+c)=(a+b)+c (asociatividad en la suma).

A4: Sea a un número real. Existe un número real (denotado por 0 ) tal que a+0=a (neutro aditivo).

A5: Para todo número real a existe un número (denotado -a) tal que a+(-a)=0 (inverso aditivo).

M1: Si a y b son números reales, entonces a*b es un número real (cerradura en el producto).

M2: Si a y b son números reales, entonces a*b=b*a (conmutatividad del producto).

M3: Si a, b y c son números reales, entonces a*(b*c)=(a*b)*c (asociatividad del producto).

M4: Sea a un número real. Existe un número real (denotado por 1) tal que a*1=a (neutro multiplicativo).

M5: Para todo número real a distinto de 0 existe un número (denotado por 1/a) tal que a*(1/a)=1 (inverso multiplicativo).

D: Si a, b y c son números reales, entonces a(b+c)=ab+ac (distributividad).

Ahora bien, conociendo los axiomas, realicemos un ejemplo sencillo de demostración directa:


Proposición 1: Sea a un número real. Entonces a*0=0.


Demostración:


a*0 es un número real, por M1
entonces a*0=a*0+0, por A4
entonces a*0=a*0 + (a+(-a)), por A5
entonces a*0=(a*0+a)+(-a), por A3
entonces a*0=(a*0+a*1)+(-a), por M4
entonces a*0=(a*(0+1))+(-a), por D
entonces a*0=(a*1)+(-a), por A4
entonces a*0=a+(-a), por M4
por lo tanto a*0=0, por A5, l.q.q.d.


MÉTODO CONTRARECIPROCO


Esta ley lógica puede utilizarse como regla de derivación en la línea de premisas de cualquier cálculo lógico. Formalmente, puede definirse como la fórmula lógica .

En efecto, si analizamos su tabla de valores de verdad:

A	B	(A → B)	↔	(¬B → ¬A)
V	V	V	V	V
V	F	F	V	F
F	V	V	V	V
F	F	V	V	V

Ejemplo

Un ejemplo sencillo: "Demuéstrese que todos los números primos mayores que 2 son impares". Aquí, la proposición p es "n es un número primo mayor que 2" y la proposición q es "n es un número impar". Demostrar que todo número primo mayor que 2 es impar (p -> q) es lo mismo que demostrar que no existe un número par que sea número primo mayor que 2, o equivalentemente, que el único número primo par es 2 (no q -> no p).

Esto es más fácil de demostrar, ya que todo número par se puede escribir como n = 2 × k, donde k es mayor o igual que 1 (la idea de número primo tiene sentido sólo en los números naturales). Si k es igual a 1, tenemos n = 2, número primo. Si, por el contrario, k es mayor que 1, entonces n es mayor que 2, pero no es primo ya que tiene algún factor que no es ni 1 ni él mismo. Así que 2 es el único número primo par, por lo que se ha demostrado que todos los números primos mayores que 2 son impares.

MÉTODO POR CONTRADICCIÓN O REDUCCIÓN AL ABSURDO

La técnica sería la siguiente:
• Se supone cierto A.
• Se demuestra que esta hipótesis conduce a
contradicción.
• Se concluye ∼ A.




Ejemplo:Demostrar P → Q y P →∼ Q, entonces ∼ P.
Derivación formal Regla Comentario
1. P → Q Premisa
2. P →∼ Q Premisa
3. ∼ (∼ P) = P Hipótesis Se supone falsa la conclusión ∼ P
4. Q 1,3 y MP
5. ∼ Q 2,3 y MP
6. Q∧ ∼ Q 4,5 y C Tenemos la contradicción buscada.
Puesto que P conduce a contradicción se concluye ∼ P


MÉTODOS DE CASOS O SILOGISMOS DISYUNTIVOS

La última de estas estructuras lógicas primarias que utilizamos en nuestra vida -y que continuaremos utilizando por el resto de ella- es la llamada Silogismo Disyuntivo. Como argumentaremos más adelante, esta estructura lógica es muy particular pues su componente esencial tiene una naturaleza diferente a la que ya hemos analizado hasta este momento.

Su estructura es:

              p o q

-p
q

Dicho en otras palabras:

Si es cierto/ocurre que p o q
y no es cierto/no ocurre p
entonces es cierto/ocurre q

Quizás, una forma todavía más clara de expresarlo es la siguiente:

Si necesariamente es cierto/ocurre o p o  q
y no es cierto/no ocurre p
entonces necesariamente es cierto/ocurre q

Un ejemplo simple:

Un día alguien nos dice algo como:

En esta vida solamente hay dos posibilidades: o eres el mejor en lo que haces o eres un fracasado.

Este enunciado también puede ser expresado como:

p o q

En donde:

p = ser el mejor
q = ser un fracasado

(En el caso específico de las proposiciones disyuntivas, el orden de los elementos no altera el resultado; es decir, “ser el mejor” bien podría ser q y “ser un fracasado” podría ser p y el significado de la proposición seguirá siendo el mismo).

Así:

ser el mejor o ser un fracasado

SISTEMA INFERENCIAL DEL CALCULO DE PREPOSICIONES

El cálculo de proposiciones se presenta como el Método de Deducción Natural. El cual consiste en un grupo de reglas que nos permiten deducir unas conclusiones a partir de unas hipótesis. Esto es lo que llamamos un sistema inferencial.

Una inferencia es una evaluación que realiza la mente entre expresiones bien formadas de un lenguaje (EBF) que, al ser relacionadas intelectualmente como abstracción, permiten trazar una línea lógica de condición o implicación lógica entre las diferentes EBF. De esta forma, partiendo de la verdad o falsedad posible (como hipótesis) o conocida (como argumento) de alguna o algunas de ellas, puede deducirse la verdad o falsedad de alguna o algunas de las otras EBF.

En un sistema inferencial llamamos inferencias a los procesos mediante los cuales obtenemos una  conclusión a partir de unas premisas de forma que el razonamiento sea válido.

Una inferencia que siga las reglas será una inferencia correcta, mientras que si no las sigue será una inferencia incorrecta.

En varios tratados lógicos podemos encontrar que a la conclusión de se le da el nombre de consecuencia lógica de las premisas.

Formalmente podemos decir que C es una conclusión o consecuencia lógica de las premisas P1, P2, P3, ..., Pn si y sólo si para cualquier interpretación I para la que P1ᶺ P2 ᶺP3ᶺ..ᶺPn es verdadera, C también es verdadera.



Se puede demostrar que C es una conclusión o consecuencia lógica de las premisas
P1, P2, P3, ..., Pn si y sólo si la sentencia

P1ᶺP2ᶺP3ᶺ...ᶺPn-C

es una tautología. O bien, si y sólo si la sentencia
P1ᶺP2ᶺP3ᶺ...ᶺPnᶺ¬C
es una contradicción.

REGLAS DE INFERENCIA

MODUS PONENDO PONENS (PP)

            p → q             “Si llueve, entonces las calles se mojan”        (premisa)

            p                   “Llueve”                                                    (premisa)

__________________________________________________

            q                      “Luego, las calles se mojan”                         (conclusión)

           

            El condicional o implicación es aquella operación que establece entre dos enunciados una relación de causa-efecto. La regla ‘ponendo ponens’ significa, “afirmando afirmo” y en un condicional establece, que si el antecedente (primer término, en este caso p) se afirma, necesariamente se afirma el consecuente (segundo término, en este caso q).

  MODUS TOLLENDO TOLLENS (TT)

            ‘Tollendo tollens’ significa “negando, niego”, y se refiere a una propiedad inversa de los condicionales, a los que nos referíamos en primer lugar.

           

               p → q             “Si llueve, entonces las calles se mojan”    

            ¬q                      “Las calles no se mojan”                                                                

__________________________________________________

            ¬p                      “Luego, no llueve”

            Si de un condicional, aparece como premisa el consecuente negado (el efecto), eso nos conduce a negar el antecedente (la causa), puesto que si un efecto no se da, su causa no ha podido darse.

            Esto nos permite formular una regla combinada de las ambas anteriores, consecuencia ambas de una misma propiedad de la implicación; la regla ponendo ponens sólo nos permite afirmar si está afirmado el antecedente (el primer término de la implicación), y la regla tollendo tollens sólo nos permite negar a partir del consecuente (segundo término de la implicación); ambas consecuencias se derivan de que la implicación es una flecha que apunta en un único sentido, lo que hace que sólo se pueda afirmar a partir del antecedente y negar sólo a partir del consecuente.

        DOBLE NEGACIÓN (DN)

            ¬¬p ↔ p

            El esquema representa, “p doblemente negada equivale a p”. Siguiendo el esquema de una inferencia por pasos, la representaríamos así:

            ¬¬p                “No ocurre que aurora no es una repostera”

_____________________________________________________

                 p                 “Aurora es una repostera ”

           

            La regla ‘doble negación’, simplemente establece que si un enunciado está doblemente negado, equivaldría al enunciado afirmado.

            ADJUNCIÓN Y SIMPLIFICACIÓN

            Adjunción (A): Si disponemos de dos enunciados afirmados como dos premisas separadas, mediante la adjunción, podemos unirlos en una sola premisa utilizando el operador Λ (conjunción).

           

p          “EDUARDO ES MECÁNICO”

           

q          “DANIEL ES ESTUDIANTE”

            ___________________________________

p Λ q   “EDUARDO ES MECÁNICO  Y DANIEL  ES ESTUDIANTE”

            Simplificación (S): obviamente, es la operación inversa. Si disponemos de un enunciado formado por dos miembros unidos por una conjunción, podemos hacer de los dos miembros dos enunciados afirmados por separado.

p Λ q               “Tengo una manzana y tengo una pera”

____________________________________________

p                      “Tengo una manzana”

q                      “Tengo una pera”

MODUS TOLLENDO PONENS (TP)

            La disyunción, que se simboliza con el operador V, representa una elección entre dos enunciados. Ahora bien, en esa elección, forma parte de las posibilidades escoger ambos enunciados, es decir, la verdad de ambos enunciados no es incompatible, si bien, ambos no pueden ser falsos.

            A partir de lo anterior, se deduce la siguiente regla, denominada tollendo ponens (negando afirmo): si uno de los miembros de una disyunción es negado, el otro miembro queda automáticamente afirmado, ya que uno de los términos de la elección ha sido descartado.

              p V q                         “He ido al cine o me he ido a la escuela”

            ¬q                               “No he ido a la escuela”

__________________________________________________________

              p                               “Por tanto, he ido al cine”

           

            LEY DE LA ADICIÓN (LA)

            Dado un enunciado cualquiera, es posible expresarlo como una elección (disyunción)  acompañado por cualquier otro enunciado.

           

            a                                  “He comprado manzanas”
            b                                   "He comprado mangos"

______________________________________________________________

            a V b                           “He comprado manzanas o he comprado mangos”

            SILOGISMO HIPOTÉTICO (SH)

            Dados dos implicaciones, de las cuales, el antecedente de la una sea el consecuente de la otra (el mismo enunciado), podemos construir una nueva implicación cuyo antecedente sea el de aquella implicación cuya consecuencia sea el antecedente de la otra implicación, y cuyo consecuente sea el de ésta última, cuyo antecedente era consecuencia del primero.

            Expresado de otro modo, si una causa se sigue una consecuencia, y ésta consecuencia es a su vez causa de una segunda consecuencia, se puede decir que esa primera causa es causa de esa segunda consecuencia, del mismo modo que, si una bola de billar roja golpea a otra bola blanca que a su vez golpea a una bola negra, la bola roja es causa del movimiento de la bola negra. Expresado en forma de inferencia lógica:

           

            p → q              “Si la bola roja golpea a la bola blanca, la bola blanca se mueve”

            q → r              “Si la bola blanca golpea a la bola negra, la bola negra se mueve”

______________________________________________________________________

           

            p → r              “Si la bola roja golpea a la bola blanca, la bola negra se mueve”

             SILOGISMO DISYUNTIVO (DS)

            Dadas tres premisas, dos de ellas implicaciones, y la tercera una disyunción cuyos miembros sean los antecedentes de los condicionales, podemos concluir en una nueva premisa en forma de disyunción, cuyos miembros serían los consecuentes de las dos implicaciones. Lógicamente, si planteamos una elección entre dos causas, podemos plantear una elección igualmente entre sus dos posibles efectos, que es el sentido de esta regla.

             p → q             “Si llueve, entonces las calles se mojan”

             r →  s             “Si la tierra tiembla, los edificios se caen”

             p V  r              “Llueve o la tierra tiembla”

____________________________________________________

            q V  s              “Las calles se mojan o los edificios se caen”

            SIMPLIFICACIÓN DISYUNTIVA (SD)

            Si disponemos de dos premisas que corresponden a dos implicaciones con el mismo consecuente, y sus antecedentes se corresponden con los dos miembros de una disyunción, podemos concluir con el consecuente de ambas implicaciones.

            p V q               “Helado de fresa o helado de vainilla”

            p → r              “Si tomas helado de fresa, entonces repites”

            q → r              “Si tomas helado de vainilla, entonces repites”

           

____________________________________________________

            r                      Luego, repites

           

            LEY CONMUTATIVA

            Esta ley, no es válida para la implicación, pero sí para conjunción y para la disyunción. Una conjunción es afirmar que se dan dos cosas a la vez, de modo que el orden de sus elementos no cambia este hecho. Igualmente, una disyunción es presentar una elección entre dos cosas, sin importar en qué orden se presente esta elección. Así pues,

            p Λ q ↔ q Λ p            “«p y q» equivale a «q y p»”

            p V q ↔ q V p             “«p ó q» equivale a «q ó p»

            LEYES DE MORGAN (DM)

            Esta ley permite transformar una disyunción en una conjunción, y viceversa, es decir, una conjunción en una disyunción. Cuando se pasa de una a otra, se cambian los valores de afirmación y negación de los términos de la disyunción/conjunción así como de la propia operación en conjunto, como podemos observar aquí:

      p Λ q                                p V q

___________                 ____________      

 ¬(¬p V ¬q)                        ¬(¬p Λ ¬q)