inteligencia artificial: MÉTODOS DE DEMOSTRACIÓN

MÉTODO DIRECTO
Si la demostración es válida, se dice que son ciertos y que:
· P es condición suficiente para que se verifique C
· C es condición necesaria para que se verifique P

A1: Si a y b son números reales, entonces a+b es un número real (cerradura en la suma).

A2: Si a y b son números reales, entonces a+b=b+a (conmutatividad de la suma).

A3: Si a, b y c son números reales, entonces a+(b+c)=(a+b)+c (asociatividad en la suma).

A4: Sea a un número real. Existe un número real (denotado por 0 ) tal que a+0=a (neutro aditivo).

A5: Para todo número real a existe un número (denotado -a) tal que a+(-a)=0 (inverso aditivo).

M1: Si a y b son números reales, entonces a*b es un número real (cerradura en el producto).

M2: Si a y b son números reales, entonces a*b=b*a (conmutatividad del producto).

M3: Si a, b y c son números reales, entonces a*(b*c)=(a*b)*c (asociatividad del producto).

M4: Sea a un número real. Existe un número real (denotado por 1) tal que a*1=a (neutro multiplicativo).

M5: Para todo número real a distinto de 0 existe un número (denotado por 1/a) tal que a*(1/a)=1 (inverso multiplicativo).

D: Si a, b y c son números reales, entonces a(b+c)=ab+ac (distributividad).

Ahora bien, conociendo los axiomas, realicemos un ejemplo sencillo de demostración directa:

Proposición 1: Sea a un número real. Entonces a*0=0.

Demostración:

a*0 es un número real, por M1
entonces a*0=a*0+0, por A4
entonces a*0=a*0 + (a+(-a)), por A5
entonces a*0=(a*0+a)+(-a), por A3
entonces a*0=(a*0+a*1)+(-a), por M4
entonces a*0=(a*(0+1))+(-a), por D
entonces a*0=(a*1)+(-a), por A4
entonces a*0=a+(-a), por M4
por lo tanto a*0=0, por A5, l.q.q.d.

MÉTODO CONTRARECIPROCO

Esta ley lógica puede utilizarse como regla de derivación en la línea de premisas de cualquier cálculo lógico. Formalmente, puede definirse como la fórmula lógica $(A \rightarrow B) \leftrightarrow (\lnot B \rightarrow \lnot A)$ .

En efecto, si analizamos su tabla de valores de verdad:

A	B	(A → B)	↔	(¬B → ¬A)
V	V	V	V	V
V	F	F	V	F
F	V	V	V	V
F	F	V	V	V

Ejemplo

Un ejemplo sencillo: "Demuéstrese que todos los números primos mayores que 2 son impares". Aquí, la proposición p es "n es un número primo mayor que 2" y la proposición q es "n es un número impar". Demostrar que todo número primo mayor que 2 es impar (p -> q) es lo mismo que demostrar que no existe un número par que sea número primo mayor que 2, o equivalentemente, que el único número primo par es 2 (no q -> no p).

Esto es más fácil de demostrar, ya que todo número par se puede escribir como n = 2 × k, donde k es mayor o igual que 1 (la idea de número primo tiene sentido sólo en los números naturales). Si k es igual a 1, tenemos n = 2, número primo. Si, por el contrario, k es mayor que 1, entonces n es mayor que 2, pero no es primo ya que tiene algún factor que no es ni 1 ni él mismo. Así que 2 es el único número primo par, por lo que se ha demostrado que todos los números primos mayores que 2 son impares.

MÉTODO POR CONTRADICCIÓN O REDUCCIÓN AL ABSURDO

La técnica sería la siguiente:
• Se supone cierto A.
• Se demuestra que esta hipótesis conduce a
contradicción.
• Se concluye ∼ A.

Ejemplo:Demostrar P → Q y P →∼ Q, entonces ∼ P.
Derivación formal Regla Comentario
1. P → Q Premisa
2. P →∼ Q Premisa
3. ∼ (∼ P) = P Hipótesis Se supone falsa la conclusión ∼ P
4. Q 1,3 y MP
5. ∼ Q 2,3 y MP
6. Q∧ ∼ Q 4,5 y C Tenemos la contradicción buscada.
Puesto que P conduce a contradicción se concluye ∼ P

MÉTODOS DE CASOS O SILOGISMOS DISYUNTIVOS

La última de estas estructuras lógicas primarias que utilizamos en nuestra vida -y que continuaremos utilizando por el resto de ella- es la llamada Silogismo Disyuntivo. Como argumentaremos más adelante, esta estructura lógica es muy particular pues su componente esencial tiene una naturaleza diferente a la que ya hemos analizado hasta este momento.

Su estructura es:

p o q

-p
q

Dicho en otras palabras:

Si es cierto/ocurre que p o q
y no es cierto/no ocurre p
entonces es cierto/ocurre q

Quizás, una forma todavía más clara de expresarlo es la siguiente:

Si necesariamente es cierto/ocurre o p o q
y no es cierto/no ocurre p
entonces necesariamente es cierto/ocurre q

Un ejemplo simple:

Un día alguien nos dice algo como:

En esta vida solamente hay dos posibilidades: o eres el mejor en lo que haces o eres un fracasado.

Este enunciado también puede ser expresado como:

p o q

En donde:

p = ser el mejor
q = ser un fracasado

(En el caso específico de las proposiciones disyuntivas, el orden de los elementos no altera el resultado; es decir, “ser el mejor” bien podría ser q y “ser un fracasado” podría ser p y el significado de la proposición seguirá siendo el mismo).

Así: